Originele versie van dit verhaal verscheen erin Kuanta-tijdschrift.
Stel je een vreemde oefening voor: een groep hardlopers begint rond een cirkelvormige baan te joggen, waarbij elke hardloper een uniek, constant tempo aanhoudt. Zal elke hardloper minstens één keer ‘eenzaam’ of relatief ver van anderen eindigen, ongeacht de snelheid?
Wiskundigen vermoeden dat het antwoord ja is.
Het ‘lonely runner’-probleem lijkt misschien eenvoudig en onbeduidend, maar het komt vaak in verschillende vormen voor in de wiskunde. Dit komt overeen met vragen in de getaltheorie, meetkunde, grafentheorie en meer – over wanneer we een duidelijke zichtlijn over een obstakelvlak kunnen krijgen, of waar een biljartbal op een tafel kan bewegen, of hoe we een netwerk kunnen organiseren. “Het heeft vele facetten. Het raakt veel verschillende gebieden van de wiskunde”, zei hij Mattias Beck van de Staatsuniversiteit van San Francisco.
Voor slechts twee of drie lopers is het bewijs voor de beschuldigingen elementair. Wiskundigen bewezen het in de jaren zeventig aan vier hardlopers, en in 2007 slaagden ze erin om tot zeven. Maar de afgelopen twintig jaar is niemand erin geslaagd verdere vooruitgang te boeken.
Toen vorig jaar, Matthieu Rosenfeldeen wiskundige aan het Montpellier Computer Science, Robotics and Microelectronics Laboratory, loste het vermoeden op acht lopers. En binnen enkele weken werd er een tweedejaars student aan de Universiteit van Oxford benoemd Tanupat (Paul) Trakulthongchai gebouwd op Rosenfelds idee om het te bewijzen negen en 10 loper.
Deze plotselinge vooruitgang heeft de belangstelling voor deze kwestie hernieuwd. “Dit is echt een enorme sprong voorwaarts”, zegt Beck, die niet bij het werk betrokken was. Door slechts één loper toe te voegen, wordt het bewijzen van het vermoeden ‘veel moeilijker’, zei hij. “Het is geweldig om van zeven lopers naar nu 10 lopers te gaan.”
Initieel koppelteken
Aanvankelijk had het probleem van eenzame hardlopers niets met hardlopen te maken.
In plaats daarvan waren wiskundigen geïnteresseerd in een ogenschijnlijk niet-gerelateerd probleem: hoe je breuken kunt gebruiken om irrationele getallen zoals pi te benaderen, een taak die veel toepassingen heeft. In de jaren zestig noemde een afgestudeerde student Jorg M. Wills raadde dat een eeuwenoude methode om precies dat te doen optimaal is; er is geen manier om het te verbeteren.
In 1998, een groep wiskundigen herschrijf het vermoeden in looptaal. Inspraak N Lopers starten vanaf dezelfde plaats op een cirkelvormige baan van 1 eenheid lang, en elk loopt met een andere constante snelheid. Het vermoeden van Wills is hetzelfde als dat iedere hardloper zich op een gegeven moment altijd eenzaam zal voelen, ongeacht de snelheid van de andere hardlopers. Om precies te zijn: elke loper zal zich op een gegeven moment op een afstand van minstens 1/2 bevinden.N van andere lopers.
Toen Wills een artikel zag over eenzame hardlopers, e-mailde hij een van de auteurs: Luis Goddyn van de Simon Fraser Universiteit, om hem te feliciteren met ‘deze mooie en poëtische naam’. (Goddyns antwoord: “Oh, je leeft nog.”)
Wiskundigen laten ook zien dat het Lonely Runner-probleem gelijkwaardig is aan andere vragen. Stel je een oneindig vel ruitjespapier voor. Plaats in het midden van elk vierkant een klein vierkant. Begin vervolgens vanuit een hoek van het raster en maak een rechte lijn. (Lijnen kunnen in elke andere richting wijzen dan perfect verticaal of horizontaal.) Hoe groot moet het kleinere vierkant zijn voordat de lijn een ervan moet raken?
Naarmate versies van het Lonely Runner-probleem zich in de wiskunde verspreidden, nam de belangstelling voor de vraag toe. Wiskundigen bewijzen verschillende vermoedens met behulp van zeer verschillende technieken. Soms vertrouwen ze op hulpmiddelen uit de getaltheorie; op andere momenten wenden ze zich tot geometrie of grafische theorie.
