Originele versie van dit verhaal verscheen erin Kuanta-tijdschrift.
Als we midden in een veld staan, kunnen we gemakkelijk vergeten dat we op een ronde planeet leven. We zijn zo klein vergeleken met de aarde dat de aarde er vanuit ons perspectief plat uitziet.
De wereld zit vol met zulke vormen – die plat lijken voor de mieren die erin leven, ook al hebben ze misschien een complexere mondiale structuur. Wiskundigen noemen deze vormen verdeelstukken. Geïntroduceerd door Bernhard Riemann in het midden van de 19e eeuw, veranderden spruitstukken de manier waarop wiskundigen over ruimte dachten. Het was niet langer simpelweg een fysieke opstelling voor andere wiskundige objecten, maar eerder een abstract, goed gedefinieerd object dat het bestuderen waard was.
Dit nieuwe perspectief stelde wiskundigen in staat om rigoureus hoger-dimensionale ruimtes te verkennen, wat leidde tot de geboorte van de moderne topologie, een vakgebied dat zich toelegt op de studie van wiskundige ruimtes zoals spruitstukken. Spruitstukken spelen ook een centrale rol op gebieden als geometrie, dynamische systemen, data-analyse en natuurkunde.
Tegenwoordig bieden ze wiskundigen een gemeenschappelijk vocabulaire voor het oplossen van allerlei problemen. Ze zijn net zo fundamenteel voor de wiskunde als het alfabet voor de taal. “Als ik Cyrillisch ken, ken ik dan ook Russisch?” gezegd Fabrizio Bianchieen wiskundige aan de Universiteit van Pisa in Italië. “Nee. Maar probeer Russisch te leren zonder Cyrillisch te leren.”
Dus wat is een spruitstuk, en welke woordenschat biedt het?
Ideeën beginnen zich te vormen
Duizenden jaren lang betekende geometrie de studie van objecten in de Euclidische ruimte, de vlakke ruimte die we om ons heen zien. “Tot de negentiende eeuw betekende ‘ruimte’ ‘fysieke ruimte’”, zegt José Ferreirós, wetenschapsfilosoof aan de Universiteit van Sevilla in Spanje – een analogie met een lijn in één dimensie, of een plat vlak in twee dimensies.
In de Euclidische ruimte gedragen de dingen zich zoals verwacht: de kortste afstand tussen twee punten is een rechte lijn. De hoeken van een driehoek zijn in totaal 180 graden. Calculus-tools zijn betrouwbaar en goed gedefinieerd.
Maar in het begin van de 19e eeuw waren sommige wiskundigen begonnen andere soorten geometrische ruimten te onderzoeken: een ruimte die niet vlak was, maar gebogen als een bal of een zadel. In deze ruimtes kunnen parallelle lijnen elkaar uiteindelijk kruisen. De hoeken van een driehoek kunnen samen meer of minder dan 180 graden bedragen. En calculus maken kan een stuk eenvoudiger zijn.
De wiskundegemeenschap had moeite om deze verandering in het geometrisch denken te accepteren (of zelfs maar te begrijpen).
Maar sommige wiskundigen willen dit idee nog verder doorvoeren. Een van hen was Bernhard Riemann, een verlegen jongeman die aanvankelijk van plan was theologie te gaan studeren (zijn vader was priester) voordat hij geïnteresseerd raakte in wiskunde. In 1849 besloot hij zijn doctoraat voort te zetten onder leiding van Carl Friedrich Gauss, die de intrinsieke eigenschappen van rondingen en oppervlakken had bestudeerd, onafhankelijk van de omringende ruimte.
